Mesure principale d'un angle orienté de vecteurs

Quand on travaille avec des angles géométriques, on écrit sans distinction \(\widehat{\text{AOB}}\) ou \(\widehat{\text{BOA}}\) sans tenir compte de l'orientation du plan. Pour différencier ces deux angles, on définit des angles orientés de vecteurs : on parlera alors de l'angle \(\color{blue}{\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\,;\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)}\) et de l'angle \(\color{red}{\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\,;\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)}\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J})\).

Définition

Soit \(x\) un nombre réel et \(\text{M}\) le point du cercle trigonométrique associé à \(x\).
On dit que \(x\) est une mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs \(\left(\overrightarrow{\mathrm{OI}}\,;\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)\).

Remarques

• Le point \(\text{M}\) étant aussi associé à tous les réels de la forme \(x+k\times 2\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\), l'angle orienté de vecteurs \(\left(\overrightarrow{\mathrm{OI}}\,;\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)\) admet aussi comme mesure en radians tous les nombres de la forme \(x+k\times 2\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\). Il admet donc une infinité de mesures.
  
• L'angle orienté de vecteurs \(\left(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\,;\overrightarrow{\mathrm{OI}}\right)\) a pour mesure \(-x\) radians.
  

Définition

La mesure principale d'un angle orienté de vecteurs est l'unique mesure de cet angle en radians qui appartient à l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\).

Exemple
Une mesure d'un angle orienté est \(\dfrac{9\pi}{4}\).
D'autres mesures de cet angle sont : \(\dfrac{9\pi}{4}+2\pi=\dfrac{17\pi}{2}\) ; \(\dfrac{9\pi}{4}+4\pi=\dfrac{25\pi}{4}\)... ou encore :\(\dfrac{9\pi}{4}-2\pi=\dfrac{\pi}{4}\) ; \(\dfrac{9\pi}{4}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{4}\)...
La mesure principale de cet angle orienté est : \(\dfrac{\pi}{4}\) car \(\dfrac{\pi}{4}\in]-\pi\,;\pi]\).